*** Convexité et intersection de tangente avec l'axe des ordonnées

On considère la fonction \(f\)  définie sur \([0\ ; +\infty[\)  par \(f (x) = x \text{e}^{ −x}\) . On note  \(\mathscr{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan. On admet que  \(f\) est deux fois dérivable sur \([0 \ ; +\infty[\) .

1. Démontrer que   \(\mathscr{C}_f\) admet une asymptote horizontale dont on donnera une équation.

2. Étudier les variations de \(f\)  sur \([0\ ; +\infty[\) .

3. Dresser le tableau complet des variations de \(f\)  sur  \([0\ ; +\infty[\) .

4. Étudier la convexité de la fonction  \(f\)  sur \([0\ ; +\infty[\) .

5. Soit  \(a\) un réel appartenant à  \([0 \ ; +\infty[\) et  \(\text{A}\) le point de la courbe \(\mathscr{C}_f\)  d’abscisse \(a\) . On note  \(T_a\) la tangente à \(\mathscr{C}_f\)  en   \(\text{A}\)  et \(\text{H}_a\) le point d’intersection de la droite   \(T_a\) et de l’axe des ordonnées.
On note  \(g (a)\) l’ordonnée de  \(\text{H}_a\) . La situation est représentée sur la figure ci-dessous.

    a. Déterminer l'équation réduite de la tangente \(T_a\) .
    b. En déduire l’expression de \(g (a)\) .
    c. Démontrer que \(g (a)\) est maximum lorsque  \(\text{A}\) est un point d’inflexion de la courbe \(\mathscr{C}_f\)